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前回は、変形勾配テンソル F を使って、物質点 X 近傍の微小ベクトル ΔX と、変形後の Δx の関係を定義しました。
今回は前回定義した微小ひずみに対し、ストレッチ分を表す変形前後のスカラー量の変化率を抽出する有限ひずみを定義を見ていきます。
COLUMN
技術コラム
【構造】製品設計/強度設計の基本講座シリーズ vol.7 有限ひずみ
体積の変化率ヤコビアン
今、基準配置 の一つの物質点 X 近傍において、3つの微小ベクトル 、 、 で定義される微小平行六面体を考えます。
すると、変形後の現在配置 での微小六面体は、以下の３つの微小ベクトルで定義されることになります。
３つのベクトルからなる平行六面体の体積は、スカラー三重積の公式によって、以下のように定義されます。
また、上記の両者の関係は、スカラー三重積の性質を使って、以下に変形できます。
とすれば、
となり、Jを ヤコビアン といいます。
Jは微小体積の変化率を表し、変形中に体積がなくなったり負になることはないので、J＞0となります。
J＝１ のときは体積変化なしの非圧縮変形となります。
面積の変化率
次に、２つの微小ベクトルで定義される以下のベクトルを考えます。これを面積ベクトルと定義します。
~ ここで、N,ｎは、２つのベクトルでつくる面に垂直な単位法線ベクトル ~
前述の体積の定義から、変形後の微小体積の式は、以下のように記述できます。
一方、
となり、この①、②の式より、
よって、 
の関係を得ます。ここで は変形勾配テンソルの逆行列の転置行列となります。
スカラーである面積の変化率は、以下の関係となり、やはり変形勾配テンソルを用いて定義されます。
よって、
の関係を得ます。
有限ひずみの定義
このように、変形勾配テンソルによって、微小ベクトル、微小面積、微小体積の変化率を計算できます。
しかし、この変形勾配テンソルには、ベクトルの回転とストレッチを含むものとなっているので、ストレッチ分を表す変形前後のスカラー量の変化率を抽出するために、ベクトルの２乗（ノルム）の変化を定義します。
同様に、以下のようにも定義できます。
これは、局所的な変形による微小線素の長さの変化率、すなわち、ひずみを表しています。
と定義し、微分ベクトルの長さ S の変化を
のように２次形式によってひずみを定義する２階のテンソル量となります。
前回の時に定義した微小ひずみに対して、有限ひずみとも呼ばれます。
[From N. Sahashi]
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